Преподаватель: д.ф.-м.н. Назаров Владимир Юрьевич
Аннотация:
Теория функционала электронной плотности [Density Functional Theory (DFT)] ныне является основным методом расчета электронной зонной структуры и равновесной геометрии кристаллической решетки твердых тел (металлов, полупроводников и диэлектриков). В своей динамической модификации [Time-Dependent DFT (TDDFT)], DFT позволяет решать задачи возбуждения квантово-механических систем при внешних воздействиях, например, задачи оптической и электронной спектроскопии.
Почему же для решения вышеназванных и других задач нам не достаточно обычной квантовой механики, а оказывается необходимым развивать косвенные методы, такие как DFT? Ответ прост — для решения квантово-механической задачи необходимо решить уравнение Шредингера для интересующей нас системы. Уравнение Шредингера это уравнение в частных производных с числом независимых переменных 3 x N, где N это число частиц в системе. Это уравнение нелегко решить даже для атома гелия, где N=2. Что же делать, когда число взаимодействующих электронов макроскопически велико, такое как, например, 1023/см3, что характерно для твердых тел ?В 1964 году Пьер Хохенберг и Вальтер Кон (Hohenberg and Kohn) доказали, что вся информация о многоэлектронной системе содержится в одной функции трех аргументов — электронной плотности этой системы. Они также предложили метод приближенного определения этой функции минуя решение многочастичного уравнения Шредингера, что колоссально раздвинуло круг поддающихся решению квантово-механических задач. Эта теория получила названия «Теория функционала плотности». В данном курсе мы познакомимся с основами этой теории и ее развитием за время, прошедшее с момента ее создания.
Цель дисциплины:
Ознакомление студентов с теоретическими основами и практическим применением методов обычного и зависящего от времени функционала электронной плотности для расчетов электронной структуры и динамических свойств материалов.
Задачи дисциплины:
– обоснование необходимости переформулирования многочастичной квантово- механической задачи на языке одночастичной теории;
– введение понятия электронной плотности как фундаментальной характеристики квантово- механической системы;
– знакомство с математическим аппаратом теории функционала электронной плотности и доказательство основных теорем;
– приобретение практических навыков при работе с современными программными пакетами, в которых реализованы расчеты свойств материалов методом функционала электронной плотности;
– краткий экскурс в историю возникновения и развития теории функционала электронной плотности.
Содержание:
7 семестр
1. Введение. Невозможность прямого решения многоэлектронной задачи и стратегии преодоления этой трудности. Электронная плотность как фундаментальная характеристика квантово- механической системы. Доказательство теорем Хохенберга-Кона.Уравнение Шредингера: 1 электрон, 2 электрона, 1023 электронов /см3. Отображение (mapping) задач с взаимодействием и без оного друг на друга. v-репрезентативность. Формулировка и доказательство 1-ой и 2-ой теорем Хохенберга-Кона.
2. Уравнения Кона-Шема. Вывод и интерпретация уравнений Кона-Шема. Обменно- корреляционный потенциал как функциональная производная обменно- корреляционной энергии по электронной плотности.
3. Проблема построения обменно- корреляционного функционала. Приближение локальной электронной плотности. Введение приближения локальной электронной плотности (LDA). Его достоинства и недостатки. Варианты LDA. Приближение локальной спиновой плотности (SLDA). Generalized gradient approximation (GGA). Meta-GGA.
4.Оптимизированный эффективный потенциал (OEP) и точный обмен (exact exchange). Их эквивалентность. Историческое введение. Фундаментальное понятие OEP как орбитально-зависимого эффективного потенциала. Обменная энергия в теории Хартри-Фока. Точный обменный (EXX) потенциал и доказательство его эквивалентности OEP.
5. Adiabatic connection-perturbation theory Герлинга-Леви как метод систематического построения обменно-корреляционных функционалов. Построение ряда теории возмущений при фиксированной электронной плотности. Воспроизведение точного обмена (exact exchange) в первом порядке этого ряда. Учет корреляций в последующих порядках.
6. Теория функционала электронной плотности при ненулевой температуре. Распространение Н. Д. Мерминым теорем Хохенберга-Кона на случай системы при конечной температуре. Альтернативный подход на основе adiabatic connection-perturbation theory.
7. Реализация метода функционала электронной плотности в полно-электронном программном пакете Elk. Метод LAPW. Основные задачи, решаемые программным пакетом Elk. Приобретение студентами навыков самостоятельной работы с пакетом Elk. Библиотека обменно-корреляционных функционалов Libxc.
8 семестр
1. Теория зависящего от времени функционала электронной плотности [Time-dependent density functional theory (TDDFT)]. Введение. Проблема возбуждений в многочастичных квантово- механических системах.
Неприменимость статического DFT к задаче возбуждения. Приближение Борна-Оппенгеймера и его недостатки.
2. Обоснование Рунге и Гроссом теории функционала электронной плотности на случай систем, находящихся под действием переменных во времени внешних полей. Формулировка и доказательство теоремы Рунге-Гросса.
3. Линейный отклик в рамках TDDFT. Понятие обменно-корреляционного ядра. Приближение адиабатической локальной электронной плотности (ALDA). Формулировка задачи динамического линейного отклика в рамках TDDFT. Обменно-корреляционное ядро как основная характеристика TDDFT в режиме линейного отклика. Ультранелокальность. Теория функционала плотности тока [Current-density functional theory (CDFT)].
4. Обобщение Adiabatic connection-perturbation theory Герлинга и Леви на динамический случай.
Динамические обмен и корреляции посредством Adiabatic connection-perturbation theory. Точно решаемые модели.
5. Применения TDDFT:
(i) Оптическое поглощение; (ii) Спектроскопия характеристических потерь энергии электронами (EELS); (iii) Торможение ионов в веществе (stopping power); (iv) Связанные электрон-фононные колебания.
6. Реализация TDDFT в полно-электронном программном пакете Elk.
Диэлектрическая функция и оптические спектры с учетом и без учета эффектов локального поля.
Основная литература:
1. R. G. Parr and Y. Weitao, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules, Oxford University Press, 1994.
2. G. F. Giuliani and G. Vignale, Quantum Theory of the Electron Liquid (Cambridge University Press, Cambridge, 2005).A. D. Becke, Fifty years of density-functional theory in chemical physics. J. Chem. Phys. 140, 18A301 (2014); https://doi.org/10.1063/1.4869598